№ 5 Рассмотри рисунок и реши задачу. В кубе ABCDMNKP укажи угол между прямой PB и плоскостью (AMN) . Запиши ответ латинскими буквами. Пример: ALS. ∠ (пропуск) На это задание пока…

Чтобы найти угол между прямой PB и плоскостью AMN в кубе ABCDMNKP, нам нужно понимать некоторые свойства геометрии куба и основы векторной алгебры.

1. Определим координаты вершин куба:
   Предположим, что куб имеет сторону длины 1 и его вершины расположены в координатах следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• M(0, 0, 1)
• N(1, 0, 1)
• K(1, 1, 1)
• P(0, 1, 1)

Тогда точки P и B будут:

• P(0, 1, 1)
• B(1, 0, 0)

2. Найдём направляющий вектор прямой PB:
   Вектор PB = B - P = (1 - 0, 0 - 1, 0 - 1) = (1, -1, -1).

3. Находим нормальный вектор к плоскости AMN:
   Чтобы найти нормальный вектор плоскости AMN, можно взять два вектора, принадлежащих этой плоскости. Например:

• Вектор AM = M - A = (0, 0, 1) - (0, 0, 0) = (0, 0, 1)
• Вектор AN = N - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1)

Теперь найдём нормальный вектор к плоскости AMN, вычисляя векторное произведение AM и AN: \[ \text{AM} \times \text{AN} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (0 \cdot 1 - 1 \cdot 0)\hat{i} - (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1)\hat{j} + (0 \cdot 0 - 0 \cdot 1)\hat{k} = (0, -1, 0) \] Нормальный вектор к плоскости AMN – это (0, -1, 0).

4. Находим угол между векторами PB и нормальным вектором:
   Угол между вектором и плоскостью можно найти через косинус угла между вектором и нормальным вектором, используя формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{|V \cdot N|}{|V| |N|} \] где \(V\) — вектор PB, а \(N\) — нормальный вектор.

Вычислим:

• Вектор PB = (1, -1, -1)
• Нормальный вектор N = (0, -1, 0)

Скалярное произведение: \[ PB \cdot N = (1)(0) + (-1)(-1) + (-1)(0) = 1 \] Длину вектора PB: \[ |PB| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \]

Длину нормального вектора: \[ |N| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 0^2} = 1 \]

Теперь подставляем в формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Следовательно, угол между вектором PB и нормальным вектором составляет: \[ \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \] Теперь, чтобы найти угол между PB и плоскостью AMN, мы можем воспользоваться тем фактом, что угол между вектором и плоскостью равен \(90^\circ - \theta\).

5. Итог: Угол между прямой PB и плоскостью AMN равен \( \theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \). Указывая на величину угла в латинских буквах, следует записать:

Ответ: ACS.