Решите систему уравнений
Привет! Давай решим эту систему уравнений вместе.
У нас есть система:
\(\sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2}\)
\(x + y + xy = 9\)
Шаг 1: Преобразуем первое уравнение
Заменим \(\sqrt{\frac{x}{y}} = a\) и \(\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{a}\).
Тогда уравнение будет:
\[ a - \frac{1}{a} = \frac{3}{2} \]
Чтобы избавиться от дроби, домножим на \(a\):
\[ a^2 - 1 = \frac{3}{2}a \]
Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби:
\[ 2a^2 - 3a - 2 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \]
\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Получаем два корня:
\[ a_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \] \[ a_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \]
Шаг 2: Вернемся к переменным \(x\) и \(y\)
Для \(a = 2\):
\(\sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \Rightarrow \frac{x}{y} = 4 \Rightarrow x = 4y\)
Подставим во второе уравнение:
\[ 4y + y + 4y^2 = 9 \]
\[ 5y + 4y^2 = 9 \]
\[ 4y^2 + 5y - 9 = 0 \]
Теперь решим квадратное уравнение:
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-9) = 25 + 144 = 169 \]
\[ y = \frac{-5 \pm 13}{8} \]
\[ y_1 = 1, \quad y_2 = -\frac{9}{4} \]
Для \(y_1 = 1\), \(x = 4y = 4\).
Для \(y_2 = -\frac{9}{4}\), \(x\) окажется отрицательным, что не подходит.
Значит, подходящее решение: \(x = 4\), \(y = 1\).
Ответ: \(x = 4\), \(y = 1\).
