Длина перпендикуляра, опущенного на плоскость α из точки, в два раза меньше длины наклонной, проведённой из этой же точки к плоскости α . Найди косинус угла между наклонной и…

Для решения задачи используем свойства треугольников и определения косинуса угла.

Обозначим:

• длину перпендикуляра как \( h \),
• длину наклонной как \( l \).

По условию задачи, длина перпендикуляра \( h \) в два раза меньше длины наклонной \( l \):

\[ h = \frac{l}{2} \]

Мы знаем, что наклонная \( l \) образует угол \( \alpha \) с плоскостью \( \alpha \). В этом контексте перпендикуляр и наклонная формируют прямоугольный треугольник, где:

• одна катета — это перпендикуляр \( h \),
• другая катета — это проекция наклонной на плоскость \( \alpha \),
• гипотенуза — это наклонная \( l \).

Согласно определению косинуса угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos(\alpha) = \frac{h}{l} \]

Подставим \( h \):

\[ \cos(\alpha) = \frac{\frac{l}{2}}{l} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, мы получаем:

\[ \cos(\alpha) = \frac{1}{2} \]

Косинус угла между наклонной и плоскостью равен \( \frac{1}{2} \), что соответствует углу \( 60^\circ \).

Ответ: Косинус угла между наклонной и плоскостью \(\alpha\) равен \(\frac{1}{2}\).