Ученик выбирает трёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 54.
Чтобы найти вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 54, нам нужно сначала разобраться с числами, которые соответствуют этим условиям.
Трёхзначные числа варьируются от 100 до 999. Чтобы число делилось на 54, оно должно одновременно делиться на 6 и на 9, так как 54 = 6 × 9.
Делимость на 6: Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3. Это значит, что последняя цифра числа должна быть четной (2, 4, 6, 8) и сумма цифр числа должна делиться на 3.
Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
Теперь давайте рассчитаем количество трёхзначных чисел, которые делятся на 54.
Чтобы найти количество подходящих чисел, найдем минимальное и максимальное трёхзначное число, которое делится на 54:
Минимальное трёхзначное число (>= 100): \[ 54 \times 2 = 108 \]
Максимальное трёхзначное число (<= 999): \[ 54 \times 18 = 972 \]
Теперь найдем все три числа: 108, 162, 216, 270, 324, 378, 432, 486, 540, 594, 648, 702, 756, 810, 864, 918, 972.
Теперь их количество:
- В ряд от 108 до 972 с шагом 54 (то есть для каждого числа вида \(54n\), где \(n\) - целое число): \[ n = 2, 3, \ldots, 18 \] Таким образом, количество чисел: \[ 18 - 2 + 1 = 17 \]
Теперь общее количество трёхзначных чисел: \[ 999 - 100 + 1 = 900 \]
Теперь, чтобы найти вероятность, делим количество чисел, делящихся на 54, на общее количество трёхзначных чисел: \[ P = \frac{17}{900} \]
Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 54, равна \(\frac{17}{900}\).
