Найдите количество 2024- значных натуральных чисел, десятичная запись которых хотя бы одну цифру 7 и хотя бы одну цифру 8
Для поиска количества 2024-значных натуральных чисел, содержащих хотя бы одну цифру 7 и хотя бы одну цифру 8, можно использовать метод включения-исключения.
Общее количество 2024-значных чисел: 2024-значное натуральное число начинается с ненулевой цифры (1-9), а остальные 2023 цифры могут быть любыми от 0 до 9. Таким образом, общее количество 2024-значных чисел: \[ 9 \cdot 10^{2023} \]
Количество 2024-значных чисел без цифры 7: Первую цифру можно выбирать из 1-6 и 8-9 (всего 8 вариантов), а остальные 2023 цифры могут быть любыми от 0 до 9, кроме 7 (то есть 9 вариантов: 0-6, 8-9): \[ 8 \cdot 9^{2023} \]
Количество 2024-значных чисел без цифры 8: Первая цифра может быть из 1-7 и 9 (всего 8 вариантов), остальные 2023 цифры могут быть любыми от 0 до 9, кроме 8 (то есть 9 вариантов: 0-7, 9): \[ 8 \cdot 9^{2023} \]
Количество 2024-значных чисел без цифр 7 и 8: Первая цифра может быть из 1-6 и 9 (всего 7 вариантов), остальные 2023 цифры могут быть любыми от 0 до 9, кроме 7 и 8 (то есть 8 вариантов: 0-6, 9): \[ 7 \cdot 8^{2023} \]
Теперь применим принцип включения-исключения для нахождения количества 2024-значных чисел, содержащих хотя бы одну цифру 7 и хотя бы одну цифру 8: \[ N = N_{total} - N_{7} - N_{8} + N_{7,8} \] где:
- \(N_{total} = 9 \cdot 10^{2023}\) — общее количество
- \(N_{7} = 8 \cdot 9^{2023}\) — без цифры 7
- \(N_{8} = 8 \cdot 9^{2023}\) — без цифры 8
- \(N_{7,8} = 7 \cdot 8^{2023}\) — без цифров 7 и 8
Теперь подставим все значения:
\[ N = 9 \cdot 10^{2023} - 8 \cdot 9^{2023} - 8 \cdot 9^{2023} + 7 \cdot 8^{2023} \] \[ N = 9 \cdot 10^{2023} - 16 \cdot 9^{2023} + 7 \cdot 8^{2023} \]
Итак, количество 2024-значных натуральных чисел, которые содержат хотя бы одну цифру 7 и хотя бы одну цифру 8, равно: \[ N = 9 \cdot 10^{2023} - 16 \cdot 9^{2023} + 7 \cdot 8^{2023} \]
