Давайте разберёмся с предложениями и определим, где необходимо расставить запятые.
Алексей подложил в костёр траву и хворост и раздул пламя.
Запятая не требуется, так как "траву и хворост" являются однородными членами, соединёнными союзом "и".Во дворцах или храмовых ансамблях гармонично сочетались живопись и декоративное искусство.
Запятая не требуется, так как "живопись и декоративное искусство" также однородные члены.К захвату жертвы у рыси приспособлены как зубы так и острые когти.
Запятая необходима между "как зубы" и "так и острые когти" для оформления сравнительного оборота: "К захвату жертвы у рыси приспособлены как зубы, так и острые когти."Государство стремилось ускорить темпы развития науки и техники и трижды производило серьёзные преобразования в экономике.
Запятая не требуется; опять же, "науки и техники" – однородные члены.Стало накрапывать и через минуту проливной дождь вымочил меня до нитки.
Запятая не требуется, так как выражение "стало накрапывать и через минуту" — это предложение, где "через минуту" уточняет время действия.
Таким образом, одна запятая требуется только в третьем предложении. Поэтому правильный ответ: 3.