f(x)=√3x-x²
Чтобы проанализировать функцию \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \), давайте рассмотрим разные аспекты этой функции.
Область определения: Для того чтобы функция была определена, выражение под корнем должно быть неотрицательным: \[ 3x - x^2 \geq 0. \] Перепишем неравенство: \[ x(3 - x) \geq 0. \] Это неравенство выполняется, если \( x = 0 \) или \( x = 3 \). Таким образом, функция будет определена на отрезке \( [0, 3] \).
Нули функции: Для нахождения нулей функции устанавливаем \( f(x) = 0 \): \[ \sqrt{3x - x^2} = 0 \Rightarrow 3x - x^2 = 0 \Rightarrow x(3 - x) = 0. \] Следовательно, нули функции находятся в точках \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
Экстремумы: Для нахождения максимума и минимума функции используем производную. Сначала найдем производную: \[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x - x^2}}(3 - 2x). \] Основное условие для экстремумов: \[ 3 - 2x = 0 \Rightarrow x = 1.5. \] Теперь проверим, находится ли эта точка внутри области определения. Поскольку \( x = 1.5 \) лежит в интервале \( [0, 3] \), то это критическая точка.
Значения функции в крайних и критических точках: Теперь вычислим значения функции в этих точках.
- \( f(0) = \sqrt{3 \cdot 0 - 0^2} = 0 \)
- \( f(1.5) = \sqrt{3 \cdot 1.5 - (1.5)^2} = \sqrt{4.5 - 2.25} = \sqrt{2.25} = 1.5 \)
- \( f(3) = \sqrt{3 \cdot 3 - 3^2} = \sqrt{9 - 9} = 0 \)
Вывод: Таким образом, функция достигает максимума в точке \( x = 1.5 \) со значением \( f(1.5) = 1.5 \) и равна нулю в крайних точках \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите рассмотреть другие функции, не стесняйтесь спрашивать!
