F(x)=√3x-x²
Давайте разберём функцию \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \) более подробно.
Определение функции: Эта функция включает в себя квадратный корень, поэтому важно определить, при каких значениях \( x \) подкоренное выражение неотрицательно. Это связано с тем, что квадратный корень из отрицательных чисел не определён в рамках вещественных чисел.
Найдём область определения: Нам нужно решить неравенство, чтобы найти, когда \( 3x - x^2 \geq 0 \).
Перепишем его в стандартном виде: \[ -x^2 + 3x \geq 0 \] Умножив неравенство на -1 (не изменяя знака неравенства), получаем: \[ x^2 - 3x \leq 0 \] Теперь можем выделить общий множитель: \[ x(x - 3) \leq 0 \]
Для решения этого неравенства определим корни: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
Рассмотрим интервалы, разделённые этими корнями: \( (-\infty, 0) \), \( (0, 3) \) и \( (3, \infty) \).
- В первом интервале (например, для \( x = -1 \)): \( -1(-1 - 3) > 0 \) (не подходит).
- Во втором интервале (например, для \( x = 1 \)): \( 1(1 - 3) < 0 \) (приемлемо).
- В третьем интервале (например, для \( x = 4 \)): \( 4(4 - 3) > 0 \) (не подходит).
Значит, функция определена на интервале \( [0, 3] \).
Найдем максимальное значение функции: Чтобы найти максимальное значение \( f(x) \), проанализируем функцию на интервале от 0 до 3. Обычно для нахождения максимума нужно найти производную и приравнять её к нулю, но в данном случае можно просто подставить граничные точки и один внутренний потенциальный максимум (1.5 в данном случае):
- Для \( x = 0 \): \[ f(0) = \sqrt{3 \cdot 0 - 0^2} = 0 \]
- Для \( x = 3 \): \[ f(3) = \sqrt{3 \cdot 3 - 3^2} = 0 \]
- Для \( x = 1.5 \): \[ f(1.5) = \sqrt{3 \cdot 1.5 - (1.5)^2} = \sqrt{4.5 - 2.25} = \sqrt{2.25} = 1.5 \]
Таким образом, максимальное значение функции \( f(x) = \sqrt{3x - x^2} \) на интервале \( [0, 3] \) равно \( 1.5 \), и оно достигается при \( x = 1.5 \).
Если у вас есть другие вопросы по данной теме или смежным областям, не стесняйтесь задавать!
