Составьте квадратное уравнение корни которого больше корней уравнения 3х²-11х+2=0 на единицу

Чтобы составить квадратное уравнение, корни которого больше корней уравнения \(3x^2 - 11x + 2 = 0\) на единицу, сначала найдем корни данного уравнения.

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] В нашем уравнении \(a = 3\), \(b = -11\), \(c = 2\).

Сначала вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 121 - 24 = 97 \]

Теперь найдем корни: \[ x_1 = \frac{11 + \sqrt{97}}{6} \] \[ x_2 = \frac{11 - \sqrt{97}}{6} \]

Теперь нам нужно создать новое квадратное уравнение, корни которого больше каждого из этих корней на единицу. То есть, если обозначить корни нового уравнения как \(x_1' = x_1 + 1\) и \(x_2' = x_2 + 1\), то получим:

\[ x_1' = \frac{11 + \sqrt{97}}{6} + 1 = \frac{11 + \sqrt{97} + 6}{6} = \frac{17 + \sqrt{97}}{6} \] \[ x_2' = \frac{11 - \sqrt{97}}{6} + 1 = \frac{11 - \sqrt{97} + 6}{6} = \frac{17 - \sqrt{97}}{6} \]

Теперь, зная корни нового уравнения, мы можем составить характеристическое уравнение, используя формулу: \[ x^2 - (x_1' + x_2') x + x_1' \cdot x_2' = 0 \]

Сначала найдём сумму корней: \[ x_1' + x_2' = \frac{17 + \sqrt{97}}{6} + \frac{17 - \sqrt{97}}{6} = \frac{34}{6} = \frac{17}{3} \]

Теперь найдём произведение корней: \[ x_1' \cdot x_2' = \left(\frac{17 + \sqrt{97}}{6}\right) \cdot \left(\frac{17 - \sqrt{97}}{6}\right) = \frac{(17)^2 - (\sqrt{97})^2}{36} = \frac{289 - 97}{36} = \frac{192}{36} = \frac{16}{3} \]

Теперь подставляем сумму и произведение корней в характеристическое уравнение: \[ x^2 - \frac{17}{3} x + \frac{16}{3} = 0 \]

Умножим всё уравнение на 3 для удобства: \[ 3x^2 - 17x + 16 = 0 \]

Таким образом, квадратное уравнение, корни которого больше корней уравнения \(3x^2 - 11x + 2 = 0\) на единицу, будет выглядеть следующим образом: \[ 3x^2 - 17x + 16 = 0 \]