По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций cost =-4/5; π/2

Для решения задачи, сначала определим угол \( t \) в заданном диапазоне \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \) (то есть угол находится во втором квартале).

Мы знаем, что \( \cos(t) = -\frac{4}{5} \). Важно помнить, что в втором квадрате косинус отрицателен, а синус положителен.

Чтобы найти значение синуса, воспользуемся основным тригонометрическим соотношением:

\[ \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1 \]

Подставим известное значение косинуса:

\[ \sin^2(t) + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 \]

\[ \sin^2(t) + \frac{16}{25} = 1 \]

Теперь вычтем \(\frac{16}{25}\) из 1:

\[ \sin^2(t) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{25}{25} - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \]

Теперь найдем значение синуса:

\[ \sin(t) = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5} \]

Поскольку в этом квадрате синус положителен, имеем:

\[ \sin(t) = \frac{3}{5} \]

Теперь, зная значения \(\sin(t)\) и \(\cos(t)\), можем найти оставшиеся тригонометрические функции:

1. Тангенс:

\[ \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4} \]

2. Котангенс (обратная тангенсу):

\[ \cot(t) = \frac{1}{\tan(t)} = -\frac{4}{3} \]

3. Секанс (обратная косинусу):

\[ \sec(t) = \frac{1}{\cos(t)} = -\frac{5}{4} \]

4. Косеканс (обратная синусу):

\[ \csc(t) = \frac{1}{\sin(t)} = \frac{5}{3} \]

Итак, значения остальных тригонометрических функций при \( \cos(t) = -\frac{4}{5} \) и \( \frac{\pi}{2} < t < \pi \) равны:

• \( \sin(t) = \frac{3}{5} \)
• \( \tan(t) = -\frac{3}{4} \)
• \( \cot(t) = -\frac{4}{3} \)
• \( \sec(t) = -\frac{5}{4} \)
• \( \csc(t) = \frac{5}{3} \)