Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0.03.Найти вероятность того,что в 200 испытаниях событие наступит не менее 10 рах

Для решения этой задачи мы воспользуемся нормальным приближением биномиального распределения, так как число испытаний велико.

Обозначим:

• \( n = 200 \) — количество испытаний,
• \( p = 0.03 \) — вероятность наступления события в каждом испытании,
• \( k = 10 \) — минимальное количество наступлений события.

Сначала определим среднее значение (\( \mu \)) и дисперсию (\( \sigma^2 \)) биномиального распределения:

• \( \mu = n \cdot p = 200 \cdot 0.03 = 6 \),
• \( \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 200 \cdot 0.03 \cdot 0.97 \approx 5.82 \),
• \( \sigma \approx \sqrt{5.82} \approx 2.41 \).

Теперь мы можем использовать нормальное распределение для приближенной оценки вероятности. Поскольку необходимо найти вероятность того, что событие произойдет не менее 10 раз, сначала преобразуем \( k = 10 \) в стандартную нормальную величину \( Z \):

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

где \( X = 10 \).

Подставим значения:

\[ Z = \frac{10 - 6}{2.41} \approx \frac{4}{2.41} \approx 1.66. \]

Теперь мы найдем вероятность того, что \( Z \geq 1.66 \). Для этого воспользуемся таблицей стандартного нормального распределения или калькулятором. По таблице мы находим, что:

\[ P(Z \leq 1.66) \approx 0.9515. \]

Следовательно, вероятность того, что \( Z \geq 1.66 \):

\[ P(Z \geq 1.66) = 1 - P(Z \leq 1.66) \approx 1 - 0.9515 = 0.0485. \]

Таким образом, вероятность того, что событие произойдет не менее 10 раз в 200 независимых испытаниях, составляет примерно \( 0.0485 \) или \( 4.85\% \).