9^х+4^х=2•6^х
Чтобы решить уравнение \(9^x + 4^x = 2 \cdot 6^x\), сначала необходимо выразить каждое число через степени более простых чисел.
Мы знаем, что:
- \(9 = 3^2\) и поэтому \(9^x = (3^2)^x = 3^{2x}\).
- \(4 = 2^2\) и поэтому \(4^x = (2^2)^x = 2^{2x}\).
- \(6 = 2 \cdot 3\), следовательно, \(6^x = (2 \cdot 3)^x = 2^x \cdot 3^x\).
Теперь подставим эти выражения в уравнение:
\[ 3^{2x} + 2^{2x} = 2 \cdot (2^x \cdot 3^x) \]
Теперь упростим правую часть уравнения:
\[ 3^{2x} + 2^{2x} = 2^{x+1} \cdot 3^x \]
Для удобства можно ввести новую переменную: пусть \(a = 2^x\) и \(b = 3^x\).
Тогда уравнение преобразуется в:
\[ b^2 + a^2 = 2ab \]
Теперь переместим все члены в одну сторону:
\[ b^2 - 2ab + a^2 = 0 \]
Данное уравнение можно переписать в виде:
\[ (b - a)^2 = 0 \]
Это дает нам:
\[ b - a = 0 \implies b = a \]
Теперь вернемся к переменным \(a\) и \(b\):
\[ 3^x = 2^x \]
Чтобы решить это уравнение, можем записать его в логарифмической форме:
\[ \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1 \]
Это возможно только при \(x = 0\).
Итак, единственным решением данного уравнения является:
\[ x = 0 \]
Если у вас остались вопросы или требуется пояснение по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!
