Икс в кубе плюс икс в квадрате минус четыре икс минус четыре равно нулю
Рассмотрим уравнение \( x^3 + x^2 - 4x - 4 = 0 \).
Для решения этого уравнения можно попробовать найти корни с помощью метода подбора или использовать теорему Виета. Однако сначала мы воспользуемся пробой корней.
Попробуем найти рациональные корни. По теореме об искусственных корнях можем попробовать подставить значения \( x = -2, -1, 0, 1, 2, 3 \) и так далее.
Проверим \( x = -2 \): \[ (-2)^3 + (-2)^2 - 4(-2) - 4 = -8 + 4 + 8 - 4 = 0 \]
Значит, \( x = -2 \) — корень уравнения.
Разложим полином на множители. Теперь можем разделить полином на \( x + 2 \): \[ x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x + 2)(Ax^2 + Bx + C) \]
Чтобы найти \( A, B, C \), сделаем деление или подберем множитель. По результатам деления получим:
\[ x^3 + x^2 - 4x - 4 = (x + 2)(x^2 - x - 2) \]
Решим квадратное уравнение \( x^2 - x - 2 = 0 \). Мы можем использовать формулу для корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \( a = 1, b = -1, c = -2 \): \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \]
Находим два корня: \[ x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \]
Итак, корни уравнения: Таким образом, у нас есть три корня: \[ x_1 = -2, \quad x_2 = -1, \quad x_3 = 2 \]
Ответ: \( x = -2, -1, 2 \).
