X²-10x+21≤
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 10x + 21 \leq 0 \), начнём с решения соответствующего уравнения:
Найдём корни квадратного уравнения \( x^2 - 10x + 21 = 0 \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16. \]
Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm 4}{2}. \]
Вычисляем корни:
- \( x_1 = \frac{10 + 4}{2} = 7 \),
- \( x_2 = \frac{10 - 4}{2} = 3 \).
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 7 \) и \( x_2 = 3 \). Неравенство можно записать следующим образом:
\[ (x - 3)(x - 7) \leq 0. \]
Чтобы определить промежутки, на которых это неравенство выполняется, рассмотрим знаки каждой части произведения на интервалах, ограниченных корнями:
- Для \( x < 3 \) (например, \( x = 0 \)): \( (0 - 3)(0 - 7) > 0 \),
- Для \( 3 < x < 7 \) (например, \( x = 5 \)): \( (5 - 3)(5 - 7) < 0 \),
- Для \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \( (8 - 3)(8 - 7) > 0 \).
Теперь мы можем составить вывод по результатам знаков:
- Неравенство \( (x - 3)(x - 7) \leq 0 \) выполняется на интервале \( [3, 7] \).
Таким образом, решением неравенства \( x^2 - 10x + 21 \leq 0 \) является диапазон:
\[ x \in [3, 7]. \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужны уточнения, не стесняйтесь спрашивать!
