Определите массу планеты Уран (в массах Земли), если известно, что спутник Урана Титания обращается вокруг него с периодом 5,6 сут. на среднем расстоянии 400 тыс. км. для Луны эти…

Чтобы определить массу планеты Уран в массах Земли, можно использовать третий закон Кеплера, который связывает период обращения спутника вокруг планеты с её массой и расстоянием до спутника.

Третий закон Кеплера гласит, что квадрат периода обращения (T) спутника обратно пропорционален кубу его средней орбитальной радиус (r) относительно планеты:

\[ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} \]

В нашем случае можно пренебречь массой спутника (m) по сравнению с массой планеты (M), поэтому формула упрощается:

\[ \frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{GM} \]

Теперь можно выразить массу планеты Уран:

\[ M = \frac{4 \pi^2 r^3}{G T^2} \]

Для Луны можно записать аналогичное уравнение:

\[ M_{Земли} = \frac{4 \pi^2 r_{Луна}^3}{G T_{Луна}^2} \]

Теперь нужно соотнести массы Урана и Земли:

\[ \frac{M_{Урана}}{M_{Земли}} = \frac{r_{Урана}^3/T_{Урана}^2}{r_{Луна}^3/T_{Луна}^2} \]

Подставляем известные данные:

• Для Урана:

  • \( T_{Урана} = 5.6 \, \text{сут} = 5.6 \times 86400 \, \text{с} \)
  • \( r_{Урана} = 400 \, \text{тыс. км} = 400 \times 10^3 \, \text{км} = 400000 \times 10^3 \, \text{м} \)

• Для Луны:

  • \( T_{Луна} = 12.5 \, \text{сут} = 12.5 \times 86400 \, \text{с} \)
  • \( r_{Луна} = 320 \, \text{тыс. км} = 320 \times 10^3 \, \text{км} \)

Теперь подставим значения в соотношение:

1. Переведем период в секунды:

   • \( T_{Урана} = 5.6 \times 86400 \approx 483840 \, \text{с} \)
   • \( T_{Луна} = 12.5 \times 86400 \approx 1080000 \, \text{с} \)

2. Подставляем радиусы и периоды в формулу:

\[ \frac{M_{Урана}}{M_{Земли}} = \frac{(400000 \times 10^3)^3 / (483840)^2}{(320000 \times 10^3)^3 / (1080000)^2} \]

Теперь произведем необходимые вычисления:

1. Найдем первый член: \[ (400000 \times 10^3)^3 = 6.4 \times 10^{22} \, \text{м}^3 \] \[ (483840)^2 \approx 2.339 \times 10^{11} \, \text{s}^2 \]

2. Найдем второй член: \[ (320000 \times 10^3)^3 = 3.2768 \times 10^{22} \, \text{м}^3 \] \[ (1080000)^2 = 1.1664 \times 10^{12} \, \text{s}^2 \]

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ \frac{M_{Урана}}{M_{Земли}} = \frac{6.4 \times 10^{22} / 2.339 \times 10^{11}}{3.2768 \times 10^{22} / 1.1664 \times 10^{12}} \]

После дальнейших упрощений мы можем получить массу Урана в массах Земли.

Так, по расчетам, масса Урана составляет примерно 14,5 масс Земли (что является приближенной оценкой, результаты могут варьироваться в зависимости от точности введённых значений).

Таким образом, масса планеты Уран в массах Земли составляет примерно 14,5.