Реши систему X^2+y^2=18 xy=8

Для решения системы уравнений:

1. \( x^2 + y^2 = 18 \)
2. \( xy = 8 \)

Мы можем выразить \( y \) через \( x \) из второго уравнения:

\[ y = \frac{8}{x} \]

Теперь подставим это выражение во первое уравнение:

\[ x^2 + \left(\frac{8}{x}\right)^2 = 18 \]

Упростим:

\[ x^2 + \frac{64}{x^2} = 18 \]

Умножим обе стороны на \( x^2 \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):

\[ x^4 - 18x^2 + 64 = 0 \]

Обозначим \( z = x^2 \). Получаем квадратное уравнение:

\[ z^2 - 18z + 64 = 0 \]

Теперь решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\[ z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1, b = -18, c = 64 \):

\[ z = \frac{18 \pm \sqrt{(-18)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1} \]

\[ z = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 256}}{2} \]

\[ z = \frac{18 \pm \sqrt{68}}{2} \]

\[ z = \frac{18 \pm 2\sqrt{17}}{2} \]

\[ z = 9 \pm \sqrt{17} \]

Теперь найдём значение \( x^2 \):

1. \( x^2 = 9 + \sqrt{17} \)
2. \( x^2 = 9 - \sqrt{17} \)

Корни из этих значений:

1. \( x = \sqrt{9 + \sqrt{17}} \) или \( x = -\sqrt{9 + \sqrt{17}} \)
2. \( x = \sqrt{9 - \sqrt{17}} \) или \( x = -\sqrt{9 - \sqrt{17}} \)

Теперь находим соответствующие значения \( y \) для каждого \( x \):

Используя \( y = \frac{8}{x} \):

1. Если \( x = \sqrt{9 + \sqrt{17}} \):

   • \( y = \frac{8}{\sqrt{9 + \sqrt{17}}} \)

2. Если \( x = -\sqrt{9 + \sqrt{17}} \):

   • \( y = -\frac{8}{\sqrt{9 + \sqrt{17}}} \)

3. Если \( x = \sqrt{9 - \sqrt{17}} \):

   • \( y = \frac{8}{\sqrt{9 - \sqrt{17}}} \)

4. Если \( x = -\sqrt{9 - \sqrt{17}} \):

   • \( y = -\frac{8}{\sqrt{9 - \sqrt{17}}} \)

Итак, возможные пары \((x, y)\):

1. \(\left(\sqrt{9 + \sqrt{17}}, \frac{8}{\sqrt{9 + \sqrt{17}}}\right)\)
2. \(\left(-\sqrt{9 + \sqrt{17}}, -\frac{8}{\sqrt{9 + \sqrt{17}}}\right)\)
3. \(\left(\sqrt{9 - \sqrt{17}}, \frac{8}{\sqrt{9 - \sqrt{17}}}\right)\)
4. \(\left(-\sqrt{9 - \sqrt{17}}, -\frac{8}{\sqrt{9 - \sqrt{17}}}\right)\)

Таким образом, мы нашли четыре решения данной системы.