A8.Сила притяжения Земли к Солнцу в 22,5 раза больше, чем сила притяження Марса к Солнцу. Во сколько раз масса Земли больше массы Марса, если расстояние между Марсом и Солнцем в 1,5 раза больше расстояния между Землей и Солнцем?
Для решения этой задачи воспользуемся законом всемирного тяготения, согласно которому сила притяжения между двумя телами рассчитывается по формуле:
\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, \]
где \( F \) – сила притяжения, \( G \) – гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) – массы тел, а \( r \) – расстояние между ними.
Дано:
Сила притяжения Земли к Солнцу \( F_{З} \) в 22,5 раза больше силы притяжения Марса к Солнцу \( F_{М} \): \[ F_{З} = 22.5 \cdot F_{М}. \]
Расстояние между Марсом и Солнцем в 1,5 раза больше расстояния между Землей и Солнцем \( r_{М} = 1.5 \cdot r_{З} \).
Теперь мы можем записать выражения для сил притяжения:
Для Земли: \[ F_{З} = G \frac{m_{З} \cdot m_{С}}{r_{З}^2}, \]
Для Марса: \[ F_{М} = G \frac{m_{М} \cdot m_{С}}{r_{М}^2}. \]
Так как в обоих случаях масса Солнца \( m_{С} \) и гравитационная постоянная \( G \) одинаковы, мы можем выразить каждую силу:
Теперь подставим \( r_{М} \): \[ r_{М} = 1.5 \cdot r_{З} \Rightarrow r_{М}^2 = (1.5 \cdot r_{З})^2 = 2.25 \cdot r_{З}^2. \]
Теперь подставим эти выражения в формулу для силы притяжения Марса: \[ F_{М} = G \frac{m_{М} \cdot m_{С}}{2.25 \cdot r_{З}^2}. \]
Теперь мы можем подставить это значение в выражение для силы притяжения Земли: \[ F_{З} = G \frac{m_{З} \cdot m_{С}}{r_{З}^2} = 22.5 \cdot G \frac{m_{М} \cdot m_{С}}{2.25 \cdot r_{З}^2}. \]
Сократив \( G \) и \( m_{С} \), мы получаем: \[ \frac{m_{З}}{r_{З}^2} = 22.5 \cdot \frac{m_{М}}{2.25 \cdot r_{З}^2}. \]
Теперь можно упростить уравнение: \[ m_{З} = 22.5 \cdot \frac{m_{М}}{2.25}. \]
Упростим это: \[ m_{З} = 10 \cdot m_{М}. \]
Таким образом, масса Земли в 10 раз больше массы Марса.
