A11.Плотность некоторой планеты в два раза меньше плотности Земли, а радиусы планет одинаковы. Определите отношение периода обращения спутника движущегося вокруг этой планеты по низкой круговой орбите, к периоду обращения аналогичного спутника Земли.
Для решения задачи о периодах обращения спутников вокруг планет с различной плотностью, но одинаковым радиусом, необходимо воспользоваться законом всемирного тяготения и формулой для периода обращения спутника.
Период обращения спутника \(T\) можно выразить через радиус орбиты \(R\) и массу планеты \(M\) с помощью следующей формулы:
\[ T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \]
где \(G\) — гравитационная постоянная.
Так как радиусы планет одинаковы, то \(R\) для обеих планет будет одним и тем же. Теперь нам нужно определить массу каждой планеты. Плотность \(\rho\) планеты связана с её массой и объёмом следующим образом:
\[ M = \rho V \]
где \(V\) — объём планеты. Объём сферы можно выразить как:
\[ V = \frac{4}{3} \pi R^3 \]
Если плотность планеты в два раза меньше плотности Земли, то:
\[ \rho_{планета} = \frac{1}{2} \rho_{Земли} \]
Таким образом, масса планеты будет:
\[ M_{планета} = \frac{1}{2} \rho_{Земли} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{2}{3} \pi R^3 \rho_{Земли} \]
Теперь можем найти период обращения спутника вокруг этой планеты:
\[ T_{планета} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M_{планета}}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot \left(\frac{2}{3} \pi R^3 \rho_{Земли}\right)}} \]
Эта формула упрощается до:
\[ T_{планета} = 2\pi \sqrt{\frac{3R^3}{2G \pi R^3 \rho_{Земли}}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{2G \pi \rho_{Земли}}} \]
Теперь найдем период обращения спутника вокруг Земли:
\[ T_{Земля} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot M_{Земли}}} = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot \left(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{Земли}\right)}} \]
Так как масса Земли \(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho_{Земли}\), то аналогичным образом мы получаем:
\[ T_{Земля} = 2\pi \sqrt{\frac{3R^3}{4G \pi \rho_{Земли}}} \]
Теперь мы можем найти отношение периодов:
\[ \frac{T_{планета}}{T_{Земля}} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{3}{2G \pi \rho_{Земли}}}}{2\pi \sqrt{\frac{3}{4G \pi \rho_{Земли}}}} = \sqrt{\frac{4}{2}} = \sqrt{2} \]
Таким образом, отношение периода обращения спутника, движущегося вокруг планеты, к периоду обращения аналогичного спутника Земли равно:
\[ \frac{T_{планета}}{T_{Земля}} = \sqrt{2} \]
Ответ: отношение периодов обращений спутников равно \(\sqrt{2}\).
