Дан треугольник АВС, точки А(2;-5 ),В(-4;1 ), С(2;-3), точка М- середина АВ , точка К- середина АС, Найдите: а) координаты точек М и К; б) длину медианы МС и КВ, в) длину средней…

Давайте разберем вашу задачу шаг за шагом.

а) Найдем координаты точек М и К:

1. Координаты точки М (середина отрезка AB): Формула для нахождения середины отрезка между двумя точками \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\) выглядит так: \[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] Подставим координаты \(A(2, -5)\) и \(B(-4, 1)\): \[ M\left(\frac{2 + (-4)}{2}, \frac{-5 + 1}{2}\right) = M\left(\frac{-2}{2}, \frac{-4}{2}\right) = M(-1, -2) \]

2. Координаты точки К (середина отрезка AC): Используем ту же формулу для точек \(A(2, -5)\) и \(C(2, -3)\): \[ K\left(\frac{2 + 2}{2}, \frac{-5 + (-3)}{2}\right) = K\left(\frac{4}{2}, \frac{-8}{2}\right) = K(2, -4) \]

б) Найдем длину медианы MC и KB:

1. Длина медианы MC: Используем формулу для расстояния между двумя точками \(M(x_1, y_1)\) и \(C(x_2, y_2)\): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставим координаты \(M(-1, -2)\) и \(C(2, -3)\): \[ MC = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - (-2))^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-3 + 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10} \]

2. Длина медианы KB: Подставим координаты \(K(2, -4)\) и \(B(-4, 1)\): \[ KB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (1 + 4)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61} \]

в) Найдем длину средней линии MK:

Используем координаты M(-1, -2) и K(2, -4): \[ MK = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-4 - (-2))^2} = \sqrt{(2 + 1)^2 + (-4 + 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} \]

г) Найдем длины сторон треугольника ABC:

1. Длина стороны AB: Подставим координаты \(A(2, -5)\) и \(B(-4, 1)\): \[ AB = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (1 - (-5))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

2. Длина стороны AC: Подставим координаты \(A(2, -5)\) и \(C(2, -3)\): \[ AC = \sqrt{(2 - 2)^2 + (-3 - (-5))^2} = \sqrt{0^2 + (2)^2} = \sqrt{4} = 2 \]

3. Длина стороны BC: Подставим координаты \(B(-4, 1)\) и \(C(2, -3)\): \[ BC = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \]

Теперь у вас есть все необходимые данные:

• Координаты \(M(-1, -2)\) и \(K(2, -4)\);
• Длины медиан \(MC = \sqrt{10}\) и \(KB = \sqrt{61}\);
• Длина средней линии \(MK = \sqrt{13}\);
• Длины сторон треугольника: \(AB = 6\sqrt{2}\), \(AC = 2\), \(BC = 2\sqrt{13}\).

Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!