реши графическим способом x²+y²=2 x-y=1
Чтобы решить систему уравнений графическим способом, начнем с построения графиков каждого уравнения.
- Первое уравнение \( x^2 + y^2 = 2 \):
Это уравнение описывает круг с центром в начале координат (0, 0) и радиусом \( \sqrt{2} \). Чтобы нарисовать круг, можно взять несколько точек, например:
- Когда \( x = 0 \), \( y = \pm\sqrt{2} \) (приблизительно \( \pm 1.41 \)).
- Когда \( y = 0 \), \( x = \pm\sqrt{2} \) (также \( \pm 1.41 \)).
- Когда \( x = 1 \), \( y = \pm 1 \) (потому что \( 1^2 + 1^2 = 2 \)).
- Когда \( x = -1 \), \( y = \pm 1 \).
Это поможет вам начертить круг.
- Второе уравнение \( x - y = 1 \):
Это уравнение можно переписать в виде \( y = x - 1 \). Оно представляет собой прямую, наклоненную под углом, которая пересекает ось \( y \) в точке \( (0, -1) \) и имеет угловой коэффициент 1.
Теперь на графике:
- Нарисуйте круг, используя точки, которые мы нашли для первого уравнения.
- Нарисуйте прямую, начиная с точки \( (0, -1) \) и поднявшись вверх со срокой, которая поднимается на 1 по оси \( y \) на каждое увеличение \( x \) на 1.
- Поиск точек пересечения:
Точки, в которых круг и прямая пересекаются, будут решениями вашей системы уравнений. Можно визуально определить эти точки на графике. Чтобы быть более точным, можно решить систему уравнений алгебраически.
Если подставим второе уравнение в первое:
\[ x^2 + (x - 1)^2 = 2 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 + (x^2 - 2x + 1) = 2 \] \[ 2x^2 - 2x + 1 - 2 = 0 \] \[ 2x^2 - 2x - 1 = 0 \]
Теперь можно решить это квадратное уравнение для \( x \) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 4 + 8 = 12 \]
Находим корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2} \]
Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в \( y = x - 1 \), чтобы найти \( y \).
Таким образом, вы получите две точки пересечения, которые представляют решения вашей системы уравнений. Удачи в учебе!
