Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 если 1 из его катетов увеличить на 4 см то гипотенуза увеличится на 2 см найдите катеты треугольника

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника как \( a \) и \( b \). По условиям задачи известно, что гипотенуза \( c = 13 \) см. Используя теорему Пифагора, мы можем записать:

\[ a^2 + b^2 = 13^2 \]

или:

\[ a^2 + b^2 = 169 \quad (1) \]

Теперь, если увеличить один из катетов на 4 см (например, пусть это будет катет \( a \)), то гипотенуза увеличится на 2 см и станет равной \( 15 \) см. Запишем новое уравнение по теореме Пифагора:

\[ (a + 4)^2 + b^2 = 15^2 \]

или:

\[ (a + 4)^2 + b^2 = 225 \quad (2) \]

Теперь раскроем скобки в уравнении (2):

\[ a^2 + 8a + 16 + b^2 = 225 \]

Заменим \( a^2 + b^2 \) из уравнения (1):

\[ 169 + 8a + 16 = 225 \]

Сложим числа:

\[ 185 + 8a = 225 \]

Теперь выразим \( 8a \):

\[ 8a = 225 - 185 \]

\[ 8a = 40 \]

Теперь поделим обе стороны на 8:

\[ a = 5 \]

Теперь, когда мы нашли \( a \), подставим значение \( a \) в уравнение (1), чтобы найти \( b \):

\[ 5^2 + b^2 = 169 \]

\[ 25 + b^2 = 169 \]

Вычтем 25 из обеих сторон:

\[ b^2 = 169 - 25 \]

\[ b^2 = 144 \]

Теперь найдем \( b \):

\[ b = \sqrt{144} = 12 \]

Таким образом, катеты прямоугольного треугольника имеют следующие значения:

\[ a = 5 \text{ см}, \quad b = 12 \text{ см} \]

Резюмируя, катеты треугольника равны \( 5 \) см и \( 12 \) см.