9x⁴-32x²-16=0

Решим уравнение \(9x^4 - 32x^2 - 16 = 0\).

Для удобства давайте сделаем замену переменной. Обозначим \(y = x^2\). Тогда уравнение преобразуется в \(9y^2 - 32y - 16 = 0\).

Теперь это квадратное уравнение относительно \(y\). Мы можем решить его с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) рассчитывается по формуле:

\[ D = b^2 - 4ac \]

Где \(a = 9\), \(b = -32\), \(c = -16\). Подставим значения:

\[ D = (-32)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-16) = 1024 + 576 = 1600 \]

Теперь найдём корни уравнения с помощью формулы:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ y = \frac{32 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 9} \] \[ y = \frac{32 \pm 40}{18} \]

Теперь решим два случая:

1. \(y = \frac{32 + 40}{18} = \frac{72}{18} = 4\)

2. \(y = \frac{32 - 40}{18} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9}\)

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

1. Если \(y = 4\): \[ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \]

2. Если \(y = -\frac{4}{9}\): Поскольку \(x^2\) не может быть отрицательным, это уравнение не имеет реальных корней.

Таким образом, решения уравнения \(9x^4 - 32x^2 - 16 = 0\) заключаются в:

\[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -2 \]

Если были вопросы по решению или требуется помощь с другими темами, не стесняйтесь обращаться!