На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат сумма площадей квадратов равен 122см². Найдите стороны прямоугольника, если его площадь 30см²?
Для решения этой задачи давайте обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \). Согласно условию, на каждой стороне прямоугольника построен квадрат, и сумма площадей этих квадратов равна 122 см². Площадь каждого квадрата выражается как \( a^2 \) и \( b^2 \). Составим уравнение:
\[ a^2 + b^2 = 122 \]
Также нам известно, что площадь прямоугольника равна 30 см²:
\[ a \cdot b = 30 \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( a^2 + b^2 = 122 \)
- \( a \cdot b = 30 \)
Мы можем выразить одну переменную через другую. Например, выразим \( b \) через \( a \) из второго уравнения:
\[ b = \frac{30}{a} \]
Теперь подставим \( b \) в первое уравнение:
\[ a^2 + \left(\frac{30}{a}\right)^2 = 122 \]
Упрощаем уравнение:
\[ a^2 + \frac{900}{a^2} = 122 \]
Умножим все на \( a^2 \) для устранения дроби (при условии, что \( a \neq 0 \)):
\[ a^4 - 122a^2 + 900 = 0 \]
Обозначим \( x = a^2 \). У нас получается квадратное уравнение:
\[ x^2 - 122x + 900 = 0 \]
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-122)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 900 = 14884 - 3600 = 11284 \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ x = \frac{122 \pm \sqrt{11284}}{2} \]
Посчитаем \( \sqrt{11284} \):
\[ \sqrt{11284} \approx 106.20 \]
Подставляем это значение обратно в уравнение:
\[ x_1 = \frac{122 + 106.20}{2} = \frac{228.20}{2} \approx 114.10 \]
\[ x_2 = \frac{122 - 106.20}{2} = \frac{15.80}{2} \approx 7.90 \]
Теперь мы получили два значения для \( a^2 \):
- \( a^2 \approx 114.10 \) (что не может быть, так как \( b = \frac{30}{a} \) не будет действительным)
- \( a^2 \approx 7.90 \)
Таким образом, \( a = \sqrt{7.90} \approx 2.81 \). Теперь находим \( b \):
\[ b = \frac{30}{a} \approx \frac{30}{2.81} \approx 10.67 \]
Таким образом, стороны прямоугольника примерно \( a \approx 2.81 \) см и \( b \approx 10.67 \) см.
Проверим условия: площадь равна \( 2.81 \cdot 10.67 \approx 30 \) см² и сумма площадей квадратов \( (2.81)^2 + (10.67)^2 \approx 122 \) см².
Ответ: стороны прямоугольника примерно 2.81 см и 10.67 см.
