Найдите нули функции f (х)=-1/2х2+х+1 Изобразите схематически график и определите промежутки знакопостоянства. 1. f(x) > 0 прих є 1 - /3; 1 + V3), (х) < 0 при 8E（-∞；1-v）C（1+V3；+8）…

Чтобы найти нули функции \( f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1 \), нам нужно решить уравнение \( f(x) = 0 \):

\[ -\frac{1}{2}x^2 + x + 1 = 0 \]

Умножим уравнение на -2, чтобы избавиться от дроби:

\[ x^2 - 2x - 2 = 0 \]

Теперь можем использовать формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -2 \).

Сначала находим дискриминант \( D \):

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \]

Теперь можем найти корни:

\[ x_{1, 2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3} \]

Итак, нули функции:

\[ x_1 = 1 - \sqrt{3}, \quad x_2 = 1 + \sqrt{3} \]

Теперь определим промежутки знакопостоянства функции. Поскольку парабола открыта вниз (коэффициент при \( x^2 \) отрицательный), функция будет принимать положительные значения на промежутках, не содержащих корни.

1. \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}, +\infty) \)
2. \( f(x) < 0 \) при \( x \in (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}) \)

Таким образом, правильный ответ: первый вариант:

• \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}, +\infty) \)
• \( f(x) < 0 \) при \( x \in (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}) \)

Схематический график функции: Для этого график будет иметь форму перевернутой параболы, которая пересекает ось абсцисс в точках \( (1 - \sqrt{3}, 0) \) и \( (1 + \sqrt{3}, 0) \), а также будет иметь вершину выше оси абсцисс между этими точками.

Заключение

Корни функции: \( 1 - \sqrt{3} \) и \( 1 + \sqrt{3} \). Промежутки знакопостоянства:

• \( f(x) > 0 \) при \( x \in (-\infty, 1 - \sqrt{3}) \cup (1 + \sqrt{3}, +\infty) \)
• \( f(x) < 0 \) при \( x \in (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3}) \)