В тире надо выбить пять неподвижных мишеней пятью выстрелами. Каждый новый выстрел делают по следующей мишени. Важно не только количество попаданий, но и порядок. За каждую…

В данной задаче нам необходимо найти количество уникальных комбинаций попаданий и промахов для пяти выстрелов по пяти мишеням. Каждая новая попытка выстрела осуществляется по очереди к каждой мишени, и нам нужно учитывать порядок попаданий и промахов.

Мы можем представить каждый выстрел как результат, где "П" означает попадание в мишень, а "М" — промах. Поскольку у нас есть 5 выстрелов, каждый из которых может закончиться либо попаданием в мишень (от 1 до 5, по очереди), либо промахом, всего существует 6 возможных результатов каждого выстрела (1, 2, 3, 4, 5 или М).

Чтобы подсчитать количество комбинаций попаданий и промахов для 5 выстрелов, необходимо учесть, что:

1. Если у нас будет всего 5 попаданий (и 0 промахов), мы имеем 1 уникальную комбинацию (попадание в 1, 2, 3, 4, 5 по порядку).

2. Если будет 4 попадания и 1 промах, у нас могут быть комбинации вида "1, 2, 3, 4, М" и так далее, меняя порядок. Здесь количество уникальных комбинаций вычисляется как число перестановок с повторениями: \[ \frac{5!}{4!1!} = 5 \]

3. Если будет 3 попадания и 2 промаха, количество комбинаций: \[ \frac{5!}{3!2!} = 10 \]

4. Если 2 попадания и 3 промаха: \[ \frac{5!}{2!3!} = 10 \]

5. Если 1 попадание и 4 промаха: \[ \frac{5!}{1!4!} = 5 \]

6. Наконец, 0 попаданий и 5 промахов — это 1 уникальная комбинация.

Теперь не забудем суммировать уникальные комбинации для всех случаев, за исключением случая с 5 промахами:

• 5 попаданий: 1
• 4 попадания, 1 промах: 5
• 3 попадания, 2 промаха: 10
• 2 попадания, 3 промаха: 10
• 1 попадание, 4 промаха: 5

Теперь сложим все уникальные призы: \[ 1 + 5 + 10 + 10 + 5 = 31 \]

Таким образом, всего заготовлено 31 уникальный приз.