Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Точка М делит сторону ВС в отношении 1 : 3, считая от вершины В, ОС = à, OB = b. Выразите вектор МD через векторы а и b При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Чтобы выразить вектор \( \vec{MD} \) через векторы \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), начнем с определения уширенности параллелограмма ABCD.

1. Определим точки:

   • Пусть \( \vec{A} = \vec{0} \) (начальная точка).
   • \( \vec{B} = \vec{b} \)
   • \( \vec{C} = \vec{b} + \vec{a} \)
   • \( \vec{D} = \vec{a} \)

2. Найдем координаты точки М: Точка \( M \) делит сторону \( BC \) в отношении \( 1:3 \). Это означает, что \( M \) делит отрезок \( BC \) таким образом, что: \[ \vec{M} = \frac{3 \vec{B} + 1 \vec{C}}{3 + 1} = \frac{3\vec{b} + (\vec{b} + \vec{a})}{4} = \frac{4\vec{b} + \vec{a}}{4} = \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \]

3. Найдем координаты точки О: Точки диагоналей \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \): \[ \vec{O} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{0} + (\vec{b} + \vec{a})}{2} = \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{a} \] \[ \vec{O} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{a}}{2} \]

4. Далее найдём вектор MD: Разница векторов \( \vec{M} \) и \( \vec{D} \): \[ \vec{MD} = \vec{D} - \vec{M} \] Подставим значения: \[ \vec{D} = \vec{a} \] \[ \vec{MD} = \vec{a} - \left( \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} \right) = \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} \] \[ \vec{MD} = \left(1 - \frac{1}{4}\right) \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} = \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} \]

Таким образом, вектор \( \vec{MD} \) выражается как: \[ \vec{MD} = \frac{3}{4} \vec{a} - \frac{1}{4} \vec{b} \]

P.S. Чтобы лучше понять, вы можете самостоятельно нарисовать параллелограмм и обозначить все ключевые точки согласно вышеизложенному.