Котлован под фундамент нового здания первый экскаватор может выкопать за 8 дней, второй — за 12 дней, а третий — за 15 дней. Какую часть котлована останется выкопать после того, как первый экскаватор отработает 3 дня, второй — 5 дней, а третий — 2 дня?

Для решения задачи начнем с определения того, сколько котлована каждый экскаватор может выкопать за день.

1. Первый экскаватор выкапывает котлован за 8 дней, значит: \[ \text{Часть за день} = \frac{1}{8} \]

2. Второй экскаватор выкопает его за 12 дней, значит: \[ \text{Часть за день} = \frac{1}{12} \]

3. Третий экскаватор справляется с работой за 15 дней, значит: \[ \text{Часть за день} = \frac{1}{15} \]

Далее рассчитаем, сколько работы каждый экскаватор сделает за отведенное время.

• Первый экскаватор работает 3 дня: \[ 3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8} \]

• Второй экскаватор работает 5 дней: \[ 5 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{12} \]

• Третий экскаватор работает 2 дня: \[ 2 \times \frac{1}{15} = \frac{2}{15} \]

Теперь суммируем, сколько всего котлована выкопано всеми экскаваторами: \[ \text{Всего выкопано} = \frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{2}{15} \]

Для удобства сложения найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для 8, 12 и 15 равен 120.

Теперь преобразуем каждую дробь:

• Для \(\frac{3}{8}\): \[ \frac{3}{8} = \frac{3 \times 15}{8 \times 15} = \frac{45}{120} \]

• Для \(\frac{5}{12}\): \[ \frac{5}{12} = \frac{5 \times 10}{12 \times 10} = \frac{50}{120} \]

• Для \(\frac{2}{15}\): \[ \frac{2}{15} = \frac{2 \times 8}{15 \times 8} = \frac{16}{120} \]

Теперь можем сложить: \[ \frac{45}{120} + \frac{50}{120} + \frac{16}{120} = \frac{111}{120} \]

Таким образом, часть котлована, которая выкопана после работы экскаваторов, составляет \(\frac{111}{120}\).

Теперь найдем, какую часть котлована еще нужно выкопать: \[ 1 - \frac{111}{120} = \frac{120}{120} - \frac{111}{120} = \frac{9}{120} \]

Сократим: \[ \frac{9}{120} = \frac{3}{40} \]

Итак, оставшаяся часть котлована, которую нужно еще выкопать, равна \(\frac{3}{40}\).