Объём правильной четырёхугольной пирамиды равен 48 см³, сторона основания пирамиды a=6 см. Определите апофему h пирамиды.

Чтобы определить апофему \( h \) правильной четырёхугольной пирамиды, нам потребуется использовать формулы для объема пирамиды и связи между её высотой, апофемой и стороной основания.

Объем \( V \) правильной пирамиды вычисляется по формуле:

\[ V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h \]

где \( S_{осн} \) — площадь основания. В нашем случае основание является квадратом со стороной \( a \), поэтому площадь основания \( S_{осн} \) равна:

\[ S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \, \text{см}^2 \]

Теперь подставим значения в формулу для объема:

\[ 48 = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot h \]

Умножим обе стороны уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

\[ 144 = 36 \cdot h \]

Теперь разделим обе стороны на 36, чтобы найти \( h \):

\[ h = \frac{144}{36} = 4 \, \text{см} \]

Теперь, чтобы найти апофему \( l \) пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора. Апофема является гипотенузой в треугольнике, в котором одна катета — это высота \( h \), а другой катет — это половина стороны основания \( a/2 \).

Таким образом, можем записать:

\[ l = \sqrt{h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} \]

Подставив значения:

\[ l = \sqrt{4^2 + \left(\frac{6}{2}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \, \text{см} \]

Итак, апофема \( h \) пирамиды равна \( 5 \, \text{см} \).