Равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой 8√2 см вращается вокруг катета. Определите радиус, высоту и объём конуса, который образовался (π≈3). Ответ: R = ? см; H = ? см; V = ? см³
Для решения задачи сначала определим стороны равнобедренного прямоугольного треугольника и потом воспользуемся этими данными для нахождения радиуса, высоты и объема конуса.
Определение сторон треугольника: В равнобедренном прямоугольном треугольнике длина катетов равна \( a \), а гипотенуза \( c = 8\sqrt{2} \) см. По теореме Пифагора имеем: \[ c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \] Подставим известное значение гипотенузы: \[ (8\sqrt{2})^2 = 2a^2 \] \[ 128 = 2a^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 64 \quad \Rightarrow \quad a = 8 \text{ см} \] Таким образом, обе стороны катетов равны 8 см.
Определение радиуса: Когда треугольник вращается вокруг одного из катетов, радиус конуса равен длине другого катета. В нашем случае радиус \( R \) равен длине катета: \[ R = 8 \text{ см} \]
Определение высоты: Высота конуса равна длине катета, вокруг которого происходит вращение. Если вращаем вокруг катета длиной \( a \), то высота конуса также равна длине этого катета: \[ H = 8 \text{ см} \]
Определение объема: Объем конуса рассчитывается по формуле: \[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \] Подставим известные значения: \[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times (8^2) \times 8 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 3 \times 64 \times 8 = \frac{1}{3} \times 3 \times 512 = 512 \text{ см}^3 \]
Теперь запишем окончательные результаты:
Ответ: \[ R = 8 \text{ см}; \quad H = 8 \text{ см}; \quad V = 512 \text{ см}^3 \]
