Пусть a, b, с — стороны треугольника, Р — периметр треугольника, r — радиус вписанной окружности, S — площадь треугольника. Найдите: а) r, если Р = 56, S = 84; б) S, если Р = 144, r = 3,5; в) а, если b = 15, с = 20, r = 2, S = 42.
Давайте решим задачу по шагам.
a) Для нахождения радиуса вписанной окружности (r) используем формулу:
\[ r = \frac{S}{P} \]
где \( S \) — площадь треугольника, а \( P \) — периметр. В нашем случае:
- \( S = 84 \)
- \( P = 56 \)
Подставим значения в формулу:
\[ r = \frac{84}{56} = 1.5 \]
Таким образом, радиус вписанной окружности равен \( r = 1.5 \).
б) Теперь найдем площадь (S), если известны периметр (P) и радиус вписанной окружности (r). Используем ту же формулу, только преобразуем её:
\[ S = r \cdot P \]
Дано:
- \( P = 144 \)
- \( r = 3.5 \)
Подставим значения:
\[ S = 3.5 \cdot 144 = 504 \]
Итак, площадь треугольника равна \( S = 504 \).
в) Для нахождения стороны \( a \) воспользуемся формулой для площади треугольника через произведение радиуса вписанной окружности и полупериметра:
Сначала найдем полупериметр (p):
\[ P = a + b + c \] \[ p = \frac{P}{2} = \frac{a + b + c}{2} \]
В данном случае, следовательно, \( P = 15 + 20 + a \). Также нам известно, что:
\[ S = r \cdot p \]
Из этого исходим:
Сначала находим \( P \):
\( P = a + 15 + 20 \)
Теперь подставим данные:
- \( r = 2 \)
- \( S = 42 \)
Тогда:
\[ S = r \cdot p \Rightarrow 42 = 2 \cdot p \Rightarrow p = \frac{42}{2} = 21 \]
Теперь сопоставляем:
\[ p = \frac{a + 15 + 20}{2} = 21 \]
Умножим обе стороны на 2:
\[ a + 15 + 20 = 42 \]
Соберем все вместе:
\[ a + 35 = 42 \Rightarrow a = 42 - 35 = 7 \]
Таким образом, сторона \( a = 7 \).
Подводя итог:
а) \( r = 1.5 \)
б) \( S = 504 \)
в) \( a = 7 \)
Если у вас есть дополнительные вопросы, обращайтесь!
