Реши

Чтобы найти косинус угла между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \), нужно воспользоваться скалярным произведением и длинами векторов.

1. Найдём координаты векторов:

   • Вектор \( \vec{AB} \): \( A(1,0) \), \( B(4,3) \). Значит, \( \vec{AB} = (4-1, 3-0) = (3, 3) \).
   • Вектор \( \vec{CD} \): \( C(0, 0) \), \( D(-1, 2) \). Значит, \( \vec{CD} = (-1-0, 2-0) = (-1, 2) \).

2. Найдём скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} \):

   • \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} = 3 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = -3 + 6 = 3 \).

3. Найдём длины векторов:

   • Длина \( \vec{AB} \): \( \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).
   • Длина \( \vec{CD} \): \( \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \).

4. Теперь найдём косинус угла между векторами:

   • \( \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}|} \).
   • \( \cos \theta = \frac{3}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} \).

Так что косинус угла между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) равен \( \frac{1}{\sqrt{10}} \).