Сергей пригласил в кино двух своих друзей — Андрея и Алексея. Он ожидает их у кинотеатра. Вероятность, что Андрей придёт на встречу вовремя, равна вероятности, что Алексей придёт на встречу вовремя. При этом друзья могут оба прийти на встречу вовремя с вероятностью 0,2, а оба — опоздать с вероятностью 0,5. Найдите вероятность того, что: а) хотя бы один из друзей придёт вовремя; б) опоздает только Андрей, а Алексей придёт вовремя; в) один из друзей опоздает, а другой придёт вовремя; г) хотя бы один из друзей опоздает.

Обозначим вероятность того, что каждый из друзей придёт вовремя, как \( p \). Тогда вероятность, что друг опоздает, будет \( 1 - p \).

Из условия есть две дополнительные информации:

1. Вероятность, что оба друга придут вовремя: \( P(A \cap B) = 0.2 \).
2. Вероятность, что оба друга опоздают: \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0.5 \).

В этих обозначениях \( A \) и \( B \) — это события, что Андрей и Алексей приходят вовремя соответственно. Мы можем представить ситуацию с помощью двумерного пространства (по 2 события).

Мы знаем, что:

• \( P(A \cap B) = p^2 = 0.2 \)
• \( P(\bar{A} \cap \bar{B}) = (1 - p)^2 = 0.5 \)

Теперь мы можем решить эти уравнения для нахождения \( p \).

1. Из первого уравнения: \[ p^2 = 0.2 \] \[ p = \sqrt{0.2} \approx 0.4472 \]

2. Подставим значение \( p \) во второе уравнение: \[ (1 - p)^2 = 0.5 \] \[ 1 - p = \sqrt{0.5} \approx 0.7071 \] \[ p = 1 - \sqrt{0.5} \approx 1 - 0.7071 \approx 0.2929 \]

Теперь можем найти \( p \) более точно.

Решим систему уравнений: Пусть: \[ p^2 = 0.2 \] \[ (1 - p)^2 = 0.5 \]

Таким образом: \[ p \approx 0.4472 \text{ и } (1 - 0.4472) \approx 0.5528. \]

Теперь находим требуемые вероятности.

а) Вероятность того, что хотя бы один из друзей придёт вовремя: \[ P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0.5 = 0.5. \]

б) Вероятность, что опоздает только Андрей, а Алексей придёт вовремя: \[ P(\bar{A} \cap B) = P(B) \cdot P(\bar{A}) = p \cdot (1 - p) = \sqrt{0.2} \cdot (1 - \sqrt{0.2}) \]

в) Вероятность, что один из друзей опоздает, а другой придёт вовремя: Суммарно две ситуации:

1. Андрей опоздал, Алексей вовремя = \( P(\bar{A} \cap B) = (1 - p) \cdot p \)
2. Алексей опоздал, Андрей вовремя = \( P(A \cap \bar{B}) = p \cdot (1 - p) \)

Таким образом: \[ P(\bar{A} \cap B) + P(A \cap \bar{B}) = 2p(1 - p). \]

г) Вероятность того, что хотя бы один из друзей опоздает: \[ P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.2 = 0.8. \]

Таким образом, мы получили следующие вероятности:

• а) 0.5
• б) \( p(1-p) \) (значение можно подставить)
• в) \( 2p(1 - p) \) (значение можно подставить)
• г) 0.8