На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD . Точки K K , L L , M M , N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет…

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Прямоугольник ABCD имеет вершины A, B, C и D. Точки K, L, M и N — это середины сторон прямоугольника, соответственно:

• K — середина стороны AB,
• L — середина стороны BC,
• M — середина стороны CD,
• N — середина стороны DA.

Теперь нам необходимо найти вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника будет находиться внутри треугольника LMN.

Шаг 1: Площадь прямоугольника

Пусть длина стороны AB (или CD) равна \( a \), а длина стороны BC (или DA) равна \( b \). Тогда площадь прямоугольника ABCD можно выразить как:

\[ S_{прямоугольника} = a \times b. \]

Шаг 2: Координаты точек

Исходя из того, что K, L, M и N являются серединами сторон, их координаты будут следующие:

• K: \( \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \),
• L: \( (a, \frac{b}{2}) \),
• M: \( \left( \frac{a}{2}, b \right) \),
• N: \( (0, \frac{b}{2}) \).

Шаг 3: Площадь треугольника LMN

Для нахождения площади треугольника LMN воспользуемся формулой площади треугольника через координаты вершин:

\[ S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) |, \]

где \((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\), и \((x_3, y_3)\) — это координаты вершин L, M и N.

Подставим координаты:

• L: \( (a, \frac{b}{2}) \)
• M: \( \left( \frac{a}{2}, b \right) \)
• N: \( (0, \frac{b}{2}) \)

Таким образом, получаем:

\[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \times | a \left( b - \frac{b}{2} \right) + \frac{a}{2} \left( \frac{b}{2} - \frac{b}{2} \right) + 0 \left( \frac{b}{2} - b \right) |. \] Упрощая, мы получаем:

\[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \times | a \cdot \frac{b}{2} | = \frac{ab}{4}. \]

Шаг 4: Вероятность нахождения точки в треугольнике LMN

Вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет находиться в треугольнике LMN, определяется как отношение площади треугольника к площади прямоугольника.

\[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{прямоугольника}} = \frac{\frac{ab}{4}}{ab} = \frac{1}{4}. \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника ABCD окажется внутри треугольника LMN, равна \( \frac{1}{4} \) или 25%.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужно уточнение, не стесняйтесь спрашивать!