На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD. Точки K K, L L, M M, N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику L M N LMN.

Question 1

Задача Задача №2357360

А

Аноним

27 ноября 2024 15:15 · публичный вопрос

А

Аноним 27 ноября 2024 15:15

На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD. Точки K K, L L, M M, N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику L M N LMN.

Answer

Для решения этой задачи необходимо определить, какую часть площади прямоугольника занимает треугольник \( LMN \).

Прямоугольник \( ABCD \) имеет четыре стороны, обозначенные как \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DA \). Обозначим размеры прямоугольника:

\( AB = a \) (длина)
\( BC = b \) (ширина)

Площадь прямоугольника \( S_{ABCD} \) вычисляется по формуле: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \]

Теперь, точки \( K \), \( L \), \( M \) и \( N \) являются серединами сторон:

\( K \) – середина \( AB \)
\( L \) – середина \( BC \)
\( M \) – середина \( CD \)
\( N \) – середина \( DA \)

Координаты этих точек могут быть следующими (если помещаем прямоугольник в координатную систему):

\( A(0, 0) \)
\( B(a, 0) \)
\( C(a, b) \)
\( D(0, b) \)

Тогда координаты середины сторон будут:

\( K\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
\( L\left(a, \frac{b}{2}\right) \)
\( M\left(\frac{a}{2}, b\right) \)
\( N\left(0, \frac{b}{2}\right) \)

Теперь находим площадь треугольника \( LMN \) с вершинами \( L \), \( M \) и \( N \). Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу детерминанта:

\[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]

Подставим координаты точек \( L(a, \frac{b}{2}) \), \( M(\frac{a}{2}, b) \), \( N(0, \frac{b}{2}) \): \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) + 0\left(\frac{b}{2} - b\right) \right| \] \( = \frac{1}{2} \left| a(0) + \frac{a}{2}(0) + 0\left(-\frac{b}{2}\right)\right| = \frac{1}{2} \times \left| \frac{a}{2} \left(b - \frac{b}{2}\right) \right| = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{b}{2} = \frac{ab}{8} \)

Теперь мы можем найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику \( LMN \): \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8} \]

Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику \( LMN \), равна \( \frac{1}{8} \).

Question 2

На рисунке изображён прямоугольник A B C D ABCD. Точки K K, L L, M M, N N — середины его сторон. Найди вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику L M N LMN.

Answer

Для решения этой задачи необходимо определить, какую часть площади прямоугольника занимает треугольник \( LMN \). Прямоугольник \( ABCD \) имеет четыре стороны, обозначенные как \( AB \), \( BC \), \( CD \), \( DA \). Обозначим размеры прямоугольника: - \( AB = a \) (длина) - \( BC = b \) (ширина) Площадь прямоугольника \( S_{ABCD} \) вычисляется по формуле: \[ S_{ABCD} = a \cdot b \] Теперь, точки \( K \), \( L \), \( M \) и \( N \) являются серединами сторон: - \( K \) – середина \( AB \) - \( L \) – середина \( BC \) - \( M \) – середина \( CD \) - \( N \) – середина \( DA \) Координаты этих точек могут быть следующими (если помещаем прямоугольник в координатную систему): - \( A(0, 0) \) - \( B(a, 0) \) - \( C(a, b) \) - \( D(0, b) \) Тогда координаты середины сторон будут: - \( K\left(\frac{a}{2}, 0\right) \) - \( L\left(a, \frac{b}{2}\right) \) - \( M\left(\frac{a}{2}, b\right) \) - \( N\left(0, \frac{b}{2}\right) \) Теперь находим площадь треугольника \( LMN \) с вершинами \( L \), \( M \) и \( N \). Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу детерминанта: \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Подставим координаты точек \( L(a, \frac{b}{2}) \), \( M(\frac{a}{2}, b) \), \( N(0, \frac{b}{2}) \): \[ S_{LMN} = \frac{1}{2} \left| a\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) + \frac{a}{2}\left(\frac{b}{2} - \frac{b}{2}\right) + 0\left(\frac{b}{2} - b\right) \right| \] \( = \frac{1}{2} \left| a(0) + \frac{a}{2}(0) + 0\left(-\frac{b}{2}\right)\right| = \frac{1}{2} \times \left| \frac{a}{2} \left(b - \frac{b}{2}\right) \right| = \frac{1}{2} \times \frac{a}{2} \times \frac{b}{2} = \frac{ab}{8} \) Теперь мы можем найти вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику \( LMN \): \[ P = \frac{S_{LMN}}{S_{ABCD}} = \frac{\frac{ab}{8}}{ab} = \frac{1}{8} \] Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка в прямоугольнике будет принадлежать треугольнику \( LMN \), равна \( \frac{1}{8} \).