Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, к соответствен-но, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и МК, если АМ на…

Обозначим длины отрезков следующим образом:

• \( AM = x \)
• \( MK = y \)

По условию задачи мы знаем, что: \[ x + 8 = y \] (так как \( AM \) на 8 меньше длины отрезка \( MK \))

Далее, применяя теорему о секущей и касательной к окружности, можем записать: \( AB \cdot AC = AM \cdot AK \).

Сначала найдем \( AK \): \( AK = AM + MK = x + (x + 8) = 2x + 8 \).

Теперь выразим \( AB \cdot AC \): \( AB = 3 \) \( AC = 8 \), таким образом: \[ AB \cdot AC = 3 \cdot 8 = 24 \]

Подставим известные длины в уравнение: \[ AB \cdot AC = AM \cdot AK \] \[ 24 = x \cdot (2x + 8) \] \[ 24 = 2x^2 + 8x \] \[ 0 = 2x^2 + 8x - 24 \]

Разделим уравнение на 2: \[ 0 = x^2 + 4x - 12 \]

Решим квадратное уравнение с использованием дискриминанта: Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64 \).

Корни уравнения по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 8}{2} \] Получаем два корня:

1. \( x_1 = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( x_2 = \frac{-12}{2} = -6 \) (не имеет смысла, так как длина не может быть отрицательной)

Таким образом, \( AM = x = 2 \).

Теперь найдем \( MK \): \[ MK = AM + 8 = 2 + 8 = 10 \].

В конечном счете, ответ:

• Длина отрезка \( AM = 2 \)
• Длина отрезка \( MK = 10 \)