Из точки А, лежащей вне окружности проведены лучи АС и АК, пресекающие окружность в точках В, С и М, к соответствен-но, начиная от точки А. Найти длину отрезка АМ и МК, если АМ на 8 меньше длины отрезка МК и длина отрезка АВB=3, АС=8

Давайте обозначим длину отрезка \( AM \) как \( x \). Согласно условию задачи, длина отрезка \( MK \) будет тогда равна \( x + 8 \).

Теперь можем воспользоваться теоремой о секущих, которая гласит, что для двух секущих, проведённых из одной внешней точки к окружности, произведение отрезков одной секущей равно произведению отрезков другой секущей.

Согласно условию, имеем:

\[ AB \cdot AC = AM \cdot AK \]

Подставим известные значения:

\[ 3 \cdot 8 = x \cdot (x + 8) \]

Это дает нам уравнение:

\[ 24 = x(x + 8) \]

Раскроем скобки:

\[ 24 = x^2 + 8x \]

Переносим всё в одну сторону:

\[ x^2 + 8x - 24 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Для начала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 64 + 96 = 160 \]

Теперь находим корни уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 \pm \sqrt{160}}{2} = \frac{-8 \pm 4\sqrt{10}}{2} = -4 \pm 2\sqrt{10} \]

Оставляем только положительное значение:

\[ x = -4 + 2\sqrt{10} \]

Теперь найдем длину отрезка \( MK \):

\[ MK = x + 8 = (-4 + 2\sqrt{10}) + 8 = 4 + 2\sqrt{10} \]

Итак, длины отрезков будут:

\[ AM = -4 + 2\sqrt{10}, \quad MK = 4 + 2\sqrt{10} \]