Sin 7x cos 3x - sin 3x cos 7x ≤ 0 Найди минимальное значение х из промежутка (π/6; π /2)удовлетворяющее данному неравенству.

Рассмотрим неравенство:

\[ \sin(7x) \cos(3x) - \sin(3x) \cos(7x) \leq 0. \]

Это можно переписать, используя формулу синуса разности:

\[ \sin(7x - 3x) \leq 0. \]

Таким образом, получаем:

\[ \sin(4x) \leq 0. \]

Синус принимает отрицательные значения в интервалах:

\[ \left( n\pi, (n+1)\pi \right), \quad n \in \mathbb{Z}. \]

Нам необходимо найти минимальное значение \(x\) в интервале \((\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})\), при этом \(4x\) должно находиться в инетрвале \((n\pi, (n+1)\pi)\).

Значит, рассматриваем:

1. Для \(n=0\):

\[ 0 < 4x < \pi \implies 0 < x < \frac{\pi}{4}. \]

2. Для \(n=1\):

\[ \pi < 4x < 2\pi \implies \frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{2}. \]

Таким образом, в интервале \((\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2})\) только для \(n=1\) хватает значений \(x\). Теперь определим границы:

\[ x = \frac{\pi}{4} \text{ (это } \frac{\pi}{4} \approx 0.785 \text{, что больше } \frac{\pi}{6} \approx 0.524). \]

Проверим границы. Сначала находим \(x=\frac{\pi}{4}\):

\[ \sin(4 \cdot \frac{\pi}{4}) = \sin(\pi) = 0. \]

Таким образом, \(x=\frac{\pi}{4}\) удовлетворяет неравенству.

Это минимальное значение, так как для \(n=0\) значения не попадают в интересующий нас интервал.

Ответ:

\[ x = \frac{\pi}{4}. \]