x2 -5x+4<0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 5x + 4 < 0 \), давайте сначала найдем корни соответствующего уравнения \( x^2 - 5x + 4 = 0 \) с помощью формулы дискриминанта.
- Вычисляем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]
- Находим корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 4 \) и \( x_2 = 1 \).
- Теперь можем определить промежутки, в которых наш квадратный многочлен \( x^2 - 5x + 4 \) меньше нуля. Мы знаем, что парабола ветвится вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) положителен).
Смотрим на промежутки:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 4) \)
- \( (4, +\infty) \)
- Проверим знак в каждом из этих промежутков:
Для \( x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 5 \cdot 0 + 4 = 4 > 0 \]
Для \( 1 < x < 4 \) (например, \( x = 2 \)): \[ 2^2 - 5 \cdot 2 + 4 = 4 - 10 + 4 = -2 < 0 \]
Для \( x > 4 \) (например, \( x = 5 \)): \[ 5^2 - 5 \cdot 5 + 4 = 25 - 25 + 4 = 4 > 0 \]
Таким образом, неравенство \( x^2 - 5x + 4 < 0 \) выполняется на промежутке:
\[ x \in (1, 4) \]
Итак, ответ: \( x \in (1, 4) \).
