2. Найдите все целые значения а, при которых система уравнений ( 2x + 5y = 8 (6x + ay = 10 имеет решение. Укажите наибольшее из возможных значений а.
Для того чтобы система уравнений имела решение, необходимо, чтобы её определитель не равнялся нулю, или чтобы при равенстве определителя нулю был выполнен дополнительный критерий (векторы свободных членов должны быть линейно зависимы).
Система уравнений выглядит следующим образом:
- \( 2x + 5y = 8 \)
- \( 6x + ay = 10 \)
Составим матрицу коэффициентов и найдем её определитель:
\[ D = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 6 & a \end{vmatrix} = 2a - 30 \]
Чтобы система имела решение, необходимо, чтобы \( D \neq 0 \), что подразумевает:
\[ 2a - 30 \neq 0 \] \[ 2a \neq 30 \] \[ a \neq 15 \]
Теперь рассмотрим случай, когда \( D = 0 \):
\[ 2a - 30 = 0 \] \[ 2a = 30 \] \[ a = 15 \]
Для значений \( a = 15 \) нужно проверить, будет ли система иметь хотя бы одно решение. Подставим \( a = 15 \) в систему уравнений:
- \( 2x + 5y = 8 \)
- \( 6x + 15y = 10 \)
Умножим первое уравнение на 3:
\[ 6x + 15y = 24 \]
Теперь сравним второе уравнение:
\[ 6x + 15y = 10 \]
Так как \( 24 \neq 10 \), система противоречива, и при \( a = 15 \) она не имеет решений.
Следовательно, целые значения \( a \), при которых система имеет решение, – это все целые числа, кроме \( a = 15 \).
Наибольшее значение целого \( a \), при котором система уравнений имеет решение — это \( a \to +\infty \), и в рамках целых чисел, если рассматривать конкретные значения, можно выбрать, например, \( a = 14 \) или любое большее, исключая 15.
Таким образом, общее решение:
Все целые значения \( a \) такие, что \( a \neq 15 \). Наибольшее из конечных целых значений — \( 14 \).
