Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один из корней уравнения равен: 3+√3;
Чтобы составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, зная один из корней, который равен \(3 + \sqrt{3}\), необходимо учесть, что если уравнение имеет рациональные коэффициенты, то комплексные и иррациональные корни всегда идут парами. В данном случае к корню \(3 + \sqrt{3}\) соответствует другой корень \(3 - \sqrt{3}\).
Теперь, зная оба корня, мы можем использовать формулу для составления квадратного уравнения. Если \(x_1\) и \(x_2\) – корни уравнения, то квадратное уравнение имеет вид:
\[ (x - x_1)(x - x_2) = 0 \]
Подставляя наши корни, получаем:
\[ (x - (3 + \sqrt{3}))(x - (3 - \sqrt{3})) = 0 \]
Раскроем скобки:
Сначала перемножим два множителя: \[ (x - (3 + \sqrt{3}))(x - (3 - \sqrt{3})) = (x - 3 - \sqrt{3})(x - 3 + \sqrt{3}) \]
Это можно представить как разность квадратов: \[ = (x - 3)^2 - (\sqrt{3})^2 \] \[ = (x - 3)^2 - 3 \]
Теперь раскроем квадрат: \[ = (x^2 - 6x + 9) - 3 \] \[ = x^2 - 6x + 6 \]
Таким образом, квадратное уравнение, которое соответствует данным условиям, будет:
\[ x^2 - 6x + 6 = 0 \]
Это уравнение имеет рациональные коэффициенты и корни, соответствующие задему условию.
