12. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 6, АС = 7, ВС = 8 на АВ взята точка М и проведена прямая МК К є ВС), параллельная стороне АС, так, что АМ = = ВК. Найдите длину МК.

В данном треугольнике \( ABC \) со сторонами \( AB = 6 \), \( AC = 7 \) и \( BC = 8 \) проводим прямую \( MK \), параллельную стороне \( AC \).

Для нахождения длины отрезка \( MK \) воспользуемся свойством о пропорциональности сторон, которое гласит, что если прямая параллельна стороне треугольника, то она делит другие две стороны пропорционально.

Пусть \( AM = x \) и \( BK = x \). Тогда, по свойству параллельных прямых, мы имеем следующее отношение:

\[ \frac{AM}{AB} = \frac{MK}{AC} \]

Поскольку \( AB = 6 \) и \( AC = 7 \):

\[ \frac{x}{6} = \frac{MK}{7} \]

Теперь выразим \( MK \):

\[ MK = \frac{7x}{6} \]

Также, так как \( AM + MB = AB \), мы имеем:

\[ x + MB = 6 \quad \Rightarrow \quad MB = 6 - x \]

По аналогии, так как \( BK + KC = BC \):

\[ x + KC = 8 \quad \Rightarrow \quad KC = 8 - x \]

Теперь, так как \( MK \) параллельно \( AC \) и делит \( BC \) и \( AB \) пропорционально, получаем:

\[ \frac{MB}{BK} = \frac{AB}{AC} \quad \Rightarrow \quad \frac{6 - x}{x} = \frac{6}{7} \]

Теперь решим это уравнение:

\[ 7(6 - x) = 6x \]

Распределим:

\[ 42 - 7x = 6x \]

Соберем \( x \):

\[ 42 = 13x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{42}{13} \]

Теперь подставим значение \( x \) в формулу для \( MK \):

\[ MK = \frac{7x}{6} = \frac{7 \cdot \frac{42}{13}}{6} = \frac{294}{78} = \frac{49}{13} \]

Таким образом, длина отрезка \( MK \) равна \( \frac{49}{13} \).