12. В треугольнике АВС со сторонами АВ = 6, АС = 7, ВС = 8 на АВ взята точка М и проведена прямая МК К є ВС), параллельная стороне АС, так, что АМ = = ВК. Найдите длину МК.

Для решения задачи будем использовать свойства подобных треугольников.

Обозначим \( AM = BK = x \). Тогда \( MB = AB - AM = 6 - x \) и \( CK = BC - BK = 8 - x \).

Так как \( MK \) параллельна \( AC \), то треугольники \( AMB \) и \( CKB \) подобны. Из подобия треугольников следует, что:

\[ \frac{AM}{AC} = \frac{MB}{BC} = \frac{BK}{AC} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{x}{7} = \frac{6 - x}{8} \]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на \( 56 \) (наименьшее общее кратное 7 и 8):

\[ 8x = 7(6 - x) \]

Раскроем скобки:

\[ 8x = 42 - 7x \]

Переносим все \( x \) на одну сторону:

\[ 8x + 7x = 42 \]

\[ 15x = 42 \]

Теперь находим \( x \):

\[ x = \frac{42}{15} = \frac{14}{5} = 2.8 \]

Теперь найдём длину \( MK \):

Так как \( MK \) параллельно \( AC \), то мы можем использовать подобие внутри треугольника:

\[ \frac{MK}{AC} = \frac{AM}{AB} = \frac{2.8}{6} \]

Отсюда \( MK \) можно выразить как:

\[ MK = AC \cdot \frac{AM}{AB} = 7 \cdot \frac{2.8}{6} = 7 \cdot \frac{14}{30} = 7 \cdot \frac{7}{15} = \frac{49}{15} \approx 3.27 \]

Таким образом, длина \( MK \) составляет \( \frac{49}{15} \) или примерно 3.27.