Периметр прямоугольного треугольника равен 20см, а разность гипотезы и катета равна 1 см . Найдите площадь треугольника

Для решения задачи о нахождении площади прямоугольного треугольника, имеющего периметр 20 см и разность гипотенузы и одного из катетов равную 1 см, воспользуемся следующими обозначениями:

• Обозначим один катет как \(a\), второй катет как \(b\), а гипотенузу как \(c\).
• По условию, имеем следующие уравнения:
  1. \( P = a + b + c = 20 \)
  2. \( c - a = 1 \)

Теперь выразим гипотенузу через катет \(a\): \[ c = a + 1 \]

Подставим \(c\) в первое уравнение: \[ a + b + (a + 1) = 20 \] Упростим: \[ 2a + b + 1 = 20 \] \[ 2a + b = 19 \] Это уравнение (1).

Теперь у нас есть два уравнения: \(c = a + 1\) и \(2a + b = 19\). Используем теорему Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] Подставим \(c\): \[ (a + 1)^2 = a^2 + b^2 \] Раскроем скобки: \[ a^2 + 2a + 1 = a^2 + b^2 \] Упростим: \[ 2a + 1 = b^2 \] Это уравнение (2).

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 2a + b = 19 \)
2. \( b^2 = 2a + 1 \)

Из уравнения (1) выразим \(b\): \[ b = 19 - 2a \]

Подставим значение \(b\) из уравнения (1) в уравнение (2): \[ (19 - 2a)^2 = 2a + 1 \] Раскроем скобки: \[ 361 - 76a + 4a^2 = 2a + 1 \] Перепишем уравнение: \[ 4a^2 - 78a + 360 = 0 \] Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-78)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 360 \] \[ D = 6084 - 5760 = 324 \] Теперь находим корни уравнения: \[ a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{78 \pm 18}{8} \]

Корни:

1. \( a_1 = \frac{96}{8} = 12 \)
2. \( a_2 = \frac{60}{8} = 7.5 \)

Теперь подставим полученные значения \(a\) для нахождения \(b\) и \(c\):

1. Для \(a = 12\): \[ b = 19 - 2 \cdot 12 = -5 \] (некорректно)

2. Для \(a = 7.5\): \[ b = 19 - 2 \cdot 7.5 = 4 \] \[ c = 7.5 + 1 = 8.5 \]

Теперь можем найти площадь треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 7.5 \cdot 4 = 15 \text{ см}^2 \]

Итак, площадь данного прямоугольного треугольника составляет 15 см².