Не вычисляя корней уравнения 3x^2+8x-1=0 найдите: а) x1^2=x2^2

Чтобы решить задание, не вычисляя корни уравнения \(3x^2 + 8x - 1 = 0\), мы можем воспользоваться свойствами корней квадратного уравнения.

Согласно теореме Виета, если уравнение имеет корни \(x_1\) и \(x_2\), то:

1. Сумма корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), где \(a\) и \(b\) — коэффициенты уравнения. В нашем случае \(a = 3\) и \(b = 8\), тогда: \[ x_1 + x_2 = -\frac{8}{3}. \]

2. Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\), где \(c\) — свободный член. В нашем случае \(c = -1\), следовательно: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{-1}{3}. \]

Теперь, чтобы найти \(x_1^2 + x_2^2\), воспользуемся следующей формулой: \[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 \cdot x_2. \]

Подставим известные значения:

1. \( (x_1 + x_2)^2 = \left(-\frac{8}{3}\right)^2 = \frac{64}{9} \).
2. \( 2x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot \frac{-1}{3} = -\frac{2}{3} \).

Теперь подставим эти значения в формулу: \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{64}{9} - \left(-\frac{2}{3}\right). \]

Для удобства преобразуем \(-\frac{2}{3}\) в дробь с делителем 9: \[ -\frac{2}{3} = -\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = -\frac{6}{9}. \]

Тогда: \[ x_1^2 + x_2^2 = \frac{64}{9} + \frac{6}{9} = \frac{70}{9}. \]

Таким образом, значение \(x_1^2 + x_2^2 = \frac{70}{9}\).

Это завершает решение задачи. Если у вас есть дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!