Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 28см. Найди максимальную площадь треугольника .

Пусть \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника. Из условия задачи знаем, что \( a + b = 28 \).

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить как: \[ S = \frac{1}{2}ab \]

Чтобы найти максимальную площадь, можно выразить одну переменную через другую. Выразим \( b \) через \( a \): \[ b = 28 - a \]

Теперь подставим это выражение в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} a (28 - a) = \frac{1}{2} (28a - a^2) \] \[ S = 14a - \frac{1}{2} a^2 \]

Это квадратная функция, которая открыта вниз (коэффициент при \( a^2 \) отрицательный). Чтобы найти максимальное значение площади, найдем вершину параболы, которая задана формулой: \[ a = -\frac{b}{2a} \] где \( b = 14 \) и \( a = -\frac{1}{2} \): \[ a = -\frac{14}{2 \cdot -\frac{1}{2}} = 14 \]

Подставим \( a = 14 \) в уравнение \( b = 28 - a \): \[ b = 28 - 14 = 14 \]

Таким образом, максимальные значения катетов равны \( a = 14 \) см и \( b = 14 \) см. Площадь треугольника равна: \[ S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 14 = \frac{196}{2} = 98 \text{ см}^2. \]

Следовательно, максимальная площадь прямоугольного треугольника равна \( 98 \) см².