В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 2 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз меньше диаметра первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Чтобы решить данную задачу, нужно помнить, что объем жидкости в первом сосуде будет равен объему жидкости во втором сосуде после переливания.
Обозначим:
- диаметр первого цилиндра как D.
- радиус первого цилиндра R = D / 2.
- высота жидкости в первом цилиндре H1 = 2 см.
Объем первого цилиндра можно рассчитывать по формуле: \[ V_1 = \pi R^2 H_1 \]
Теперь найдем радиус второго цилиндра. Поскольку диаметр второго цилиндра в 5 раз меньше диаметра первого, его диаметр будет: \[ D_2 = D / 5 \] Соответственно, радиус второго цилиндра: \[ R_2 = D_2 / 2 = (D / 5) / 2 = D / 10 \]
Теперь объем второго цилиндра, когда в него налили жидкость, будет равен: \[ V_2 = \pi R_2^2 H_2 \] где H2 — высота жидкости во втором цилиндре, которую мы хотим найти.
Так как объемы равны, мы можем записать уравнение: \[ V_1 = V_2 \]
Подставим выражения для объемов: \[ \pi R^2 H_1 = \pi R_2^2 H_2 \]
Так как π сокращается, у нас остается: \[ R^2 H_1 = R_2^2 H_2 \]
Теперь подставим значения радиусов: \[ R_2 = D / 10 \quad \text{и} \quad R = D / 2 \]
Таким образом, уравнение будет выглядеть так: \[ \left(\frac{D}{2}\right)^2 \cdot 2 = \left(\frac{D}{10}\right)^2 \cdot H_2 \]
Упростим его: \[ \frac{D^2}{4} \cdot 2 = \frac{D^2}{100} \cdot H_2 \] \[ \frac{D^2}{2} = \frac{D^2}{100} \cdot H_2 \]
Теперь, сокращая \( D^2 \) (при условии, что \( D \neq 0 \)), мы получаем: \[ \frac{1}{2} = \frac{H_2}{100} \]
Теперь решим уравнение для \( H_2 \): \[ H_2 = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50 \, \text{см} \]
Таким образом, уровень жидкости во втором сосуде будет находиться на высоте 50 см.
