Найдите среди векторов m {3;2} n {2⅓;-1} p {7;-3} k {4;11} пары не коллинеарных

Чтобы определить пары векторов, которые не коллинеарны, необходимо помнить, что два вектора коллинеарны, если один из них можно получить путем умножения другого на некоторое скалярное число. Вектор \(\mathbf{m} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{n} = \begin{pmatrix} \frac{7}{3} \\ -1 \end{pmatrix}\), \(\mathbf{p} = \begin{pmatrix} 7 \\ -3 \end{pmatrix}\) и \(\mathbf{k} = \begin{pmatrix} 4 \\ 11 \end{pmatrix}\).

Теперь давайте проверим каждую пару векторов:

1. Пара \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\):

   • Проверим, есть ли скаляр \(a\) такой, что \(\mathbf{m} = a \mathbf{n}\) или наоборот.
   • Для этого составим систему: \[ 3 = a \cdot \frac{7}{3}, \quad 2 = a \cdot (-1) \]
   • Из первого уравнения: \[ a = \frac{3 \cdot 3}{7} = \frac{9}{7} \]
   • Вставляем во второе уравнение: \[ 2 = \frac{9}{7} \cdot (-1) \quad \text{(неверно)} \] Следовательно, \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{n}\) не коллинеарны.

2. Пара \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{p}\):

   • Аналогично проверим на коллинеарность.
   • Для \(\mathbf{m} = a \mathbf{p}\): \[ 3 = 7a, \quad 2 = -3a \]
   • Из первого уравнения \(a = \frac{3}{7}\), из второго: \[ a = -\frac{2}{3} \quad \text{(неверно)} \] Значит, \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{p}\) не коллинеарны.

3. Пара \(\mathbf{m}\) и \(\mathbf{k}\):

   • Проверяем на коллинеарность: \[ 3 = 4a, \quad 2 = 11a \]
   • Из первого уравнения \(a = \frac{3}{4}\), из второго: \[ a = \frac{2}{11} \quad \text{(неверно)} \] Это значит, что они не коллинеарны.

4. Пара \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{p}\):

   • Проверка: \[ \frac{7}{3} = 7a, \quad -1 = -3a \]
   • Из первого уравнения \(a = \frac{1}{3}\), из второго: \[ a = \frac{1}{3} \quad \text{(верно)} \] Таким образом, \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{p}\) коллинеарны.

5. Пара \(\mathbf{n}\) и \(\mathbf{k}\):

   • Проверка: \[ \frac{7}{3} = 4a, \quad -1 = 11a \]
   • Из первого уравнения \(a = \frac{7}{12}\), из второго: \[ a = -\frac{1}{11} \quad \text{(неверно)} \] Следовательно, они не коллинеарны.

6. Пара \(\mathbf{p}\) и \(\mathbf{k}\):

   • Проверка: \[ 7 = 4a, \quad -3 = 11a \]
   • Из первого уравнения \(a = \frac{7}{4}\), из второго: \[ a = -\frac{3}{11} \quad \text{(неверно)} \] То есть, не коллинеарны.

Итак, пары, которые не коллинеарны:

• \((\mathbf{m}, \mathbf{n})\)
• \((\mathbf{m}, \mathbf{p})\)
• \((\mathbf{m}, \mathbf{k})\)
• \((\mathbf{n}, \mathbf{k})\)
• \((\mathbf{p}, \mathbf{k})\)

Надеюсь, это было полезно! Если есть ещё вопросы, не стесняйтесь спрашивать.