Давайте рассмотрим ваши предложения и определим способы цитирования, а также расставим необходимые знаки препинания.
Предложение: Когда римский император Веспасиан не успевал сделать за день ни одного доброго дела, он говорил с горечью: «Друзья, я потерял день».
Способ цитирования: Прямая речь.
Предложение: Отец геометрии Евклид произносил, когда заканчивал каждый свой математический вывод: «Что и требовалось доказать».
Способ цитирования: Прямая речь.
Предложение: Юлий Цезарь так сообщил в Рим о быстром победоносном сражении: «Пришел, увидел, победил».
Способ цитирования: Прямая речь.
Предложение: Люди много размышляют об уме и глупости. Вот что об этом сказал дагестанский поэт Расул Гамзатов: «Полезен и яд змеи, если он в умелых руках. Вреден и пчелиный мед, если он в руках дурака».
Способ цитирования: Прямая речь.
Предложение: Спросили у Лукиана: «У кого ты учился вежливости?» Он ответил: «У невежд. Я воздерживаюсь от речей и поступков, которые мне в них неприятны».
Способ цитирования: Прямая речь.
Теперь все предложения имеют нужные знаки препинания. Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими заданиями, не стесняйтесь задавать!