Найдите количество точек пересечения прямой окружности заданных уровне ниями y=x+5 и x²+(y-2) ²=9

Чтобы найти количество точек пересечения прямой \(y = x + 5\) и окружности, заданной уравнением \(x^2 + (y - 2)^2 = 9\), начнем с подстановки уравнения прямой в уравнение окружности.

1. Подставим уравнение прямой в уравнение окружности: \[ x^2 + ((x + 5) - 2)^2 = 9 \] Упростим уравнение: \[ x^2 + (x + 3)^2 = 9 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 9 \] Объединим подобные члены: \[ 2x^2 + 6x + 9 = 9 \] Упростим: \[ 2x^2 + 6x = 0 \]

2. Далее можно вынести общий множитель: \[ 2x(x + 3) = 0 \]

3. Теперь найдем решения этого уравнения: \[ 2x = 0 \quad \text{или} \quad x + 3 = 0 \] Отсюда \(x = 0\) и \(x = -3\).

4. Подставим найденные значения \(x\) обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

   • При \(x = 0\): \[ y = 0 + 5 = 5 \] Соответственно, одна точка пересечения: \((0, 5)\).
   • При \(x = -3\): \[ y = -3 + 5 = 2 \] Соответственно, вторая точка пересечения: \((-3, 2)\).

Таким образом, у нас имеется две точки пересечения: \((0, 5)\) и \((-3, 2)\).

Ответ: количество точек пересечения равно 2.