Докажите что четырехугольник ABCD является параллелограмом если A( 0,2,-3) B( -1,1,1) C(2,-2,-1) D(3,-1,-5)

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что его противоположные стороны равны или же что средние точки диагоналей совпадают.

Шаг 1: Найдем координаты векторов для сторон AB и CD, а также BC и AD.

Вектор \( \vec{AB} = B - A = (-1, 1, 1) - (0, 2, -3) = (-1, -1, 4) \)

Вектор \( \vec{CD} = D - C = (3, -1, -5) - (2, -2, -1) = (1, 1, -4) \)

Вектор \( \vec{BC} = C - B = (2, -2, -1) - (-1, 1, 1) = (3, -3, 0) \)

Вектор \( \vec{AD} = D - A = (3, -1, -5) - (0, 2, -3) = (3, -3, -2) \)

Шаг 2: Проверим, равны ли векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \), а также \( \vec{BC} \) и \( \vec{AD} \). Мы видим, что:

• Векторы \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \) не равны.
• Векторы \( \vec{BC} \) и \( \vec{AD} \) также не равны.

Шаг 3: Найдем средние точки диагоналей AC и BD.

Координаты средней точки \( M_{AC} \): \[ M_{AC} = \left( \frac{A_x + C_x}{2}, \frac{A_y + C_y}{2}, \frac{A_z + C_z}{2} \right) = \left( \frac{0 + 2}{2}, \frac{2 - 2}{2}, \frac{-3 - 1}{2} \right) = (1, 0, -2) \]

Координаты средней точки \( M_{BD} \): \[ M_{BD} = \left( \frac{B_x + D_x}{2}, \frac{B_y + D_y}{2}, \frac{B_z + D_z}{2} \right) = \left( \frac{-1 + 3}{2}, \frac{1 - 1}{2}, \frac{1 - 5}{2} \right) = (1, 0, -2) \]

Шаг 4: Сравним средние точки: \( M_{AC} = (1, 0, -2) \) и \( M_{BD} = (1, 0, -2) \).

Так как средние точки диагоналей совпадают, это доказывает, что четырехугольник ABCD является параллелограммом.